제가 직접 체크해본 바로는, 2023년 6월 고1 모의고사 수학 20번 문제는 이차함수의 축, 최대값과 최소값을 다루는 내용입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 필요 조건을 확인하고, 주어진 x의 구간에 따른 a의 위치를 파악해야 합니다. 아마 더 많은 분들이 이해할 수 있도록 손풀이와 해설을 함께 남겨보려고 해요.
이차함수란 무엇인가요?
이차함수는 다양하게 활용되는 매우 중요한 함수입니다. 하지만 이차함수를 처음 접하는 학생들에게는 약간의 어려움이 있을 수 있는데요. 아래에서 이차함수를 이해하는 데 꼭 필요한 요소들을 정리해보겠습니다.
- 이차함수의 기본식
이차함수는 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
- (f(x) = ax^2 + bx + c)
여기서 a는 0이 아닐 때, 함수의 그래프가 포물선 형태를 띱니다. a가 양수일 때는 아래로 볼록하고, 음수일 때는 위로 볼록해요.
2. 이차함수의 속성
이차함수는 여러 가지 중요한 속성을 가지고 있어요.
- 축의 위치: 축의 위치는 x = -(\frac{b}{2a})로 나타낼 수 있어요.
- 최대/최솟값: a의 부호에 따라 함수의 극댓값과 극솟값이 달라져요.
이러한 요소들이 문제 풀이에 큰 영향을 미친답니다.
2023년 6월 고1 모의고사 수학 20번 문제 이해하기
해당 문제에서는 a의 수치에 따라 함수의 극값을 확인해 보아야 합니다. 이 문제에서 주목해야 할 점은 (가)와 (나) 조건 아래에서 a의 구간을 찾는 것인데요.
1. (가) 조건의 이해
(가) 조건을 활용하면 a의 값은 2와 10 사이에 꼭 있어야 한다는 것을 알 수 있어요. 따라서 (f(a))는 a에서 최솟값인 0을 갖습니다.
2. (나) 조건의 중요성
(나) 조건을 보면, 그 조건 때문에 6이 a보다 왼쪽에 위치할 수 없음을 알 수 있거든요. 그렇기에 6이 a의 오른쪽에 있어야 최고값과 최솟값이 같아질 수 있습니다. 이 부분이 이해하기 쉽지 않은데, 대개 이런 점에서 많은 학생들이 어려워하거든요.
이해를 돕기 위해 아래와 같이 정리해볼까요?
| 조건 | 설명 |
|---|---|
| (가) 조건 | (a \in (2, 10)), 즉 최소값이 0 |
| (나) 조건 | 6이 a보다 오른쪽에 있어야 함 |
최솟값과 최댓값 찾기
문제를 통해 얻어진 정보를 바탕으로 a의 범위를 찾는 것이 중요한 포인트인데요. 이러한 과정이 어렵다면 아마 많은 학생들이 힘들어할 수 있겠어요. 그 부분에 대해 좀 더 설명해볼게요.
1. 최댓값 찾기
2와 6 사이에서의 최댓값은 (f(2))와 (f(6)) 중에서 결정됩니다. 그렇기 때문에 f의 극값을 구하는 것이 필요한데, 이때 a의 범위를 설정해줘야 해요.
2. 최솟값 확인하기
또한, 6과 10 사이의 최솟값이 (f(6))과 같아지는 경우를 따져보아야 합니다. 이런 요소가 모두 더해져야 문제를 성공적으로 풀 수 있으니까요.
구체적인 손풀이 사례
제가 직접 경험해본 결과로는, 이차함수의 풀이 과정이 매번 반복적으로 나오는 만큼 풀어보면 더욱 쉽게 이해할 수 있답니다. 그럼 이제 마지막 단계에서 구체적인 풀이를 정리해보도록 할게요.
| 과정 | 설명 |
|---|---|
| 1단계 | (f(-1)) 구하기: a의 범위로 제곱 연산 |
| 2단계 | 최댓값 f(6)을 기준으로 a의 범위 설정 |
| 3단계 | 제곱 결과로 부등호 유지 |
이렇게 해서 최종적으로 도출된 값은 34였어요. 자, 그럼 이제 요약해보도록 할게요.
결론 및 참고할 만한 사항
이 문제는 단순한 이차함수의 풀이에 그치지 않고, 극댓값과 극솟값을 확인하는 과정 속에서의 함수의 성질을 파악하는 것에 많은 도움이 된답니다. 만일 여러분들도 이와 유사한 문제를 본다면 적절한 조건을 설정해 보는 것이 좋을 것입니다.
지금까지 수학 문제의 풀이에 대한 이해를 돕기 위해 상세히 설명해 보았어요. 이 글을 읽어보시고 좋아지셨으면 좋겠네요!
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